La loi Normale est une fonction en forme de "cloche" donnée par:

(56)

dont les écarts-types sont utilisées pour donner l'intervalle de probabilité cumulée de se situer dans ces bornes centré sur la moyenne comme représenté ci-dessous:

(57)

Ceci étant rappelé, nous avons également présenté dans le chapitre de Génie Industriel les probabilités conjointes dans le cadre de Six Sigma pour une chaîne de processus P connectés en série.

Au fait les processus mentionnés ne sont pas forcément des processus industriels mais peuvent être assimilés sous des hypothèses identiques à des processus quelconques (administratifs, procédures, workflows, etc.).

Nous avions vu que la probabilité conjointe (ou cumulée) est appelée dans Six Sigma "Rolled Troughput Yield" (R.T.Y.) ou "Rendement Global Combiné" (R.G.C.) et est donnée par (cf. chapitre de Probabilités) :

(58)

Par exemple l'application de la relation précédente donne pour un processus série en 4 étapes dont la fiabilité est de 90% chaque:

(59)

Nous nous retrouvons donc au final avec une fiabilité de 65.6% soit une probabilité cumulée de défaut pour l'ensemble du processus de 34.4%.

Remarque: Le lecteur attentif aura remarque que le système série est toujours moins fiable que sa composant la moins fiable!!

Redonnons le tableau au pire selon Six Sigma, soit le tableau en procédé non centré avec une déviation de la moyenne de équation (donc à droite mais on pourrait prendre à gauche et les résultats sont les mêmes) par rapport à la cible et d'écart-type unitaire avec USL et LSL symétriques (ce qui restreint toujours le champ d'application):

C_p	C_pk	Défauts (PPM)	Niveau de qualité Sigma	Critère
0.5	0	501350	1.5	Mauvais
0.6	0.1	382572	1.8
0.7	0.2	27412	2.1
0.8	0.3	184108	2.4
0.9	0.4	115083	2.7
1	0.5	66810	3
1.1	0.6	35931	3.3
1.2	0.7	17865	3.6
1.3	0.8	8198	3.9	Limite
1.4	0.9	3467	4.2
1.5	1	1350	4.5
1.6	1.1	483	4.8
1.7	1.2	159	5.1
1.8	1.3	48	5.4
1.9	1.4	13	5.7
2	1.5	3.4	6	Excellent

Tableau: 3 - Défauts et niveau de qualité Sigma en procédé décentré

où nous avons démontré dans le chapitre de Génie Industriel que les valeurs PPM étaient données par:

équation

(60)

Ce qui donne pour un niveau de qualité de 3 Sigma:

>evalf((1-1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-(x-1.5)^2/2),x=-infinity..(1*3))))*1E6+evalf((1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-(x-1.5)^2/2),x=-infinity..-(3*(1+1)))))*1E6;

soit une valeur de 66810 c'est-à-dire la valeur de la 6 ligne. Ce qui correspond à ~6.68% en termes de probabilité cumulée de non-qualité (66'810 divisé par 1 million et mis en pourcents) et donc respectivement à une probabilité cumulée de ~93.32% de qualité.

Nous avons le tableau suivant qui peut résumer certaines valeurs importantes du tableau précédent en utilisant la commande Maple:


Qualité%	93.32	99.38	99.98	99.9996
équation	1	1.33	1.68	2
Jugement	Mauvais	Limite	Bon	Excellent

Tableau: 4 - Valeurs importantes de maîtrise du procédé

Sous l'hypothèse que chaque étape d'un processus série suit la même loi avec les mêmes moments et les mêmes déviations par rapport à la cible nous avons alors:

Étapes/Qualité%
1	93.32	99.38	99.98	99.9996
7	61.63	95.73	99.84	99.9976
10	50.08	93.96	99.77	99.9966
20	25.08	88.29	99.54	99.9932
40	6.29	77.94	99.07	99.9864
60	1.58	68.81	98.61	99.9796
80	0.40	60.75	98.16	99.9728
100	0.10	53.64	97.70	99.996
...	...	...	...	...

Tableau: 5 - Niveau de qualité d'un processus/procédé ayant un nombre fini d'étapes

où chaque ligne représente le Rolled Troughput Yield (RTY) donc calculé avec:

(61)

où i dont le nombre d'étapes du processus (1,7,10,20,40) et où les probabilités sont données par la première ligne (1). Ainsi, avec un niveau de qualité de

et une déviation à la cible de

nous avons pour un processus de 20 étapes identiquement distribuées:

(62)

ce qui est lamentable! Un procédé industriel en 20 étapes d'un produit complet devrait avoir au minimum un niveau de qualité de 4 sigma pour être acceptable en termes de rendement et de qualité
Ainsi, l'objectif du Lean Six Sigma dans une entreprise sera d'augementer le niveau de qualité avec un RTY maximum pour un nombre donné d'étapes d'un processus.

MODÈLE STATISTIQUE DE CONTRÔLE DES SALAIRES

Basée sur les us et coutumes en statistiques, le contrôle statistique des salaires (C.S.S.) peut se justifier puisque l'outil et le principe de base est appliqué dans tous les domaines de l'économie (finance, médecine, ingénierie, qualité, biologie, projets, logistique, commerce, etc.)
L'idée, fort simple, est d'analyser la distribution statistique des salaires dans une population (nation, entreprise, département, niveau hiérarchique ou autre...) et de considérer tout ce qui est au-delà de 99.9996% de probabilité cumulée comme une anomalie. Au contraire, ce qui est à l'intérieur de l'intervalle sera justifié conformément aux standards d'usage et ne nécessitera dont ni débat, ni explications hasardeuses.
Déjà, une première règle empirique évidente, est que la variable aléatoire des salaires doit être catégorisée si sa distribution statistique est multimodale. Ce qui est fréquent dans certaines entreprises ou institutions. Il convient ensuite de choisir adéquatement les catégories qui seront fréquemment des niveaux hiérarchiques normalisés au sein de l'institution (ressources, responsables d'équipes, responsables de projets, directeurs de projets, direction...).
Une fois ceci fait, il doit rester une distribution statistique unimodale dont la variable aléatoire est strictement positive (les salaires négatifs étant rares...).
Par exemple, pour l''ensemble des salaires bruts annuels fixes en fin de carrière dans le canton de Genève (Suisse) en 2004 (source: Office Cantonal Genevois du personnel), nous avons la variables aléatoire qui suit une loi log-logistique de paramètres:

(63)

Nous avons ainsi:

Probabilité cumulée (ou centile)	Valeur
99%	300'000
99.9%	535'000
99.99%	930'000
99.999%	1'600'000
99.9996%	2'030'000
99.9999%	2'850'000
99.99999%	5'000'000
99.999999%	8'800'000
99.9999998%	13'040'000

Tableau: 6 - Centile de la répartition des salaires avec valeur correspondante

Ainsi, si nous nous basons sur les us et coutumes en statistiques de la gestion de portefeuilles et du risque dans les bons instituts financiers, un salaire annuel de plus de 300'000.- CHF à Genève, tous secteurs et hiérarchies confondus, est une anomalie...
Si nous nous basons sur les us et coutumes en statistiques de la gestion du risque et de la qualité dans l'industrie des procédés de fabrication massive, un salaire annuel de plus de 2'030'000.- CHF à Genève, tous secteurs et hiérarchies confondus, est une anomalie...
Si nous nous basons sur les us et coutumes des statistiques les plus pointues en termes de qualité et du contrôle du risque, un salaire de plus de ~13'040'000.- CHF à Genève, tous secteurs et hiérarchies confondus, est une anomalie...
Ainsi, il serait contradictoire que les personnes dirigeantes qui imposent des critères statistiques à leurs collaborateurs en ce qui concerne les services et la production ne les respectent pas eux-mêmes en ce qui concerne leur salaire ou n'impose pas des règles identiques au département des ressources humaines (dont le concept de qualité est souvent inconnu...).
Remarque: Le même raisonnement statistique peut s'appliquer pour la part variable du salaire.

L'objectif de ce chapitre est d'introduire aux principales techniques mathématiques de production et de gestion, de maintenance et de qualité dont l'utilisation est devenue indispensable aux ingénieurs, gestionnaires et cadres des entreprises modernes. Par ailleurs, c'est un excellent chapitre pour la culture générale du physicien ou du mathématicien... et un acquis pour l'ingénieur!
Beaucoup de techniques ne seront cependant pas présentées ici car ayant déjà été démontrées dans d'autres chapitres du site. Effectivement, les techniques de gestion font un énorme usage des statistiques (dites "statistiques descriptives" dans le domaine), de la théorie de la décision, de la théorie des graphes ainsi que de l'économétrie (en particulier le VAN, le R.O.I, etc.) et des algorithmes d'optimisation et des chapitres entiers y étant déjà consacrés sur ce site il serait redondant d'y revenir.

Remarque: Nous parlons souvent de 3M (Méthodes Mathématiques de Management) pour décrire l'ensemble des outils mathématiques appliqués à la gestion (il existe d'ailleurs un cursus de formation d'une vingtaine de journées). Une terme anglophone courant et qui devient à la mode en Europe pour décrire ce domaine d'application est aussi le "decisioneering" faisant référence au fait que ce sont des outils d'aide à la décision pour les ingénieurs.

Indiquons avant de commencer que malgré son importance intrinsèque les techniques quantitatives de gestion (incluant aussi la recherche opérationnelle et la modélisation par Monte-Carlo vues dans le chapitre d'Informatique Théorique ainsi que Six Sigma vu dans le chapitre de Génie Industriel et la Théorie de la Décision) sont encore peu utilisées dans le monde industriel, soit à cause du manque d'(in)formation des décideurs (excepté dans le domaine de la finance), soit par le manque de pertinence de l'outil ou sa difficulté de mise en œuvre. Les principales craintes émises par les décideurs quant à l'application de modèles mathématiques dans l'entreprise sont :
1. Une prise en compte limitée des facteurs: Pour les questions stratégiques, la réponse pure et parfaite d'une solution mathématique semble rarement applicable de facto. Même si les techniques quantitatives intègrent beaucoup de facteurs, si certains aspects sont relativement faciles à modéliser au sens mathématique du terme (le coût, la rentabilité, la distance, la durée, la cadence, par exemple), d'autres éléments sont en revanche plus difficiles à modéliser : contraintes légales, volonté commerciale de faire barrage à un concurrent, importance des relations avec les élus, climat social, etc. Le poids de ces éléments dans la décision est pourtant important, parfois déterminant.
2. Un investissement important: L'outil mathématique lui-même exige un niveau élevé de connaissances mathématiques, une bonne aptitude à modéliser les problèmes et décrire les facteurs. Ces contraintes sont consommatrices de beaucoup de temps et d'une certaine somme d'argent (que ce soit par développement interne, qui consomme des ressources - ou par développement externe, qui consomme de l'argent). Il est alors nécessaire de trouver un équilibre entre l'investissement nécessaire et les retombées prévues.
3. Pour des événements peu fréquents: L'entreprise ne bénéficie pas de l'effet d'expérience et donc d'une fois sur l'autre, le problème concerne un service différent, ou les responsables ont changé entre deux études. Il est donc difficile d'entretenir les compétences à l'intérieur de l'entreprise. Le décideur devra prendre ces différents aspects en compte lorsqu'il décidera ou non de mettre en œuvre des techniques quantitatives dans son entreprise.
Nous pouvons aussi argumenter que ce qui fait que les techniques scientifiques de gestion (TQG) ne soient guère répandues est que:
1. Dans un environnement peux exigeant le surcroît de puissance qu'offrent les TQG ne justifie pas forcément les efforts nécessaires à leur apprentissage.
2. Les TQG sont exigeantes en raisonnement et rigoureuses, elles ne peuvent donc convenir aux personnes qui ne connaissent ni l'un ni l'autre...

Diagramme de Pareto

Le diagramme de Pareto, comme nous allons le voir, est un moyen (entre autres) simple pour classer les phénomènes par ordre d'importance. Mais la distribution de Pareto est aussi souvent utilisée en entreprise comme base de simulation stochastique pour des variables aléatoires représentant des investissement chiffrés de projets (à peu près aussi souvent utilisée que la distribution triangulaire, la distribution Bêta ou log-Normale dans l'industrie moderne).
Rappelons alors qu'une variable aléatoire est dite par définition suivre une loi de Pareto si sa fonction de répartition est donnée par (cf. chapitre de Statistiques) :

(1)

avec

(donc

) et pour l'espérance (moyenne) :

(2)

et l'écart-type:

(3)

Pour illustrer ce type de représentation, nous supposerons qu'une étude de réorganisation du réseau commercial de l'entreprise LAMBDA conduise le directeur commercial à s'intéresser à la répartition des 55'074 bons de commande (valeur en bas à droite du tableau) reçus pendant une année donnée selon la ville où sont domiciliés les clients (nous avons retenu ici les 200 premières villes du pays imaginaire d'où les 200 lignes réparties en 5 colonnes).
Pour calculer les paramètres de la loi de Pareto, le lecteur devra se raporter au chapite de Génie Industriel car nous n'allons ici avoir qu'une approche qualitative comme le font les gestionnaires, l'analyse quantitative étant réservée majoritairement aux ingénieurs.
Ces données sont reproduites dans le tableau ci-dessous :

n_i	N_i	n_i	N_i	n_i	N_i	n_i	N_i	n_i	N_i
8965	8965	240	40027	125	46378	88	50916	55	53752
4556	13520	236	40263	123	46862	87	51003	54	53806
3069	16589	224	40487	123	46985	87	51090	54	53860
2336	18925	223	40710	123	47108	86	51176	54	53914
1872	20796	220	40930	122	47229	85	51261	54	53968
1595	22391	215	41145	121	47350	85	51346	51	54018
1326	23718	213	41357	118	47468	84	51430	50	54068
1184	24902	212	41570	118	47586	84	51514	49	54116
1085	25987	202	41772	118	47705	82	51597	48	54164
934	26921	201	41972	117	47821	81	51678	47	54211
843	27764	200	42172	115	47936	79	51757	44	54255
747	28510	191	42363	114	48050	79	51835	43	54298
722	29232	190	42553	112	48162	78	51913	43	54340
710	29943	188	42741	112	48274	78	51990	42	54382
647	30589	185	42926	108	48383	77	52067	41	54423
631	31221	179	43105	108	48490	76	52144	40	54463
607	31828	173	43278	107	48597	74	52218	40	54503
539	32367	170	43448	106	48703	72	52290	38	54542
502	32868	161	43609	105	48808	72	52362	38	54580
462	33330	160	43769	102	48910	72	52434	37	54617
459	33790	158	43927	102	49012	71	52505	37	54654
422	34212	153	44080	102	49114	71	52576	36	54690
372	34584	153	44233	101	49215	70	52647	36	54726
362	34945	149	44382	100	49315	70	52716	35	54760
355	35300	149	44531	100	49415	67	52784	33	54793
347	35647	148	44679	99	49514	66	52851	32	54825
342	35989	147	44826	98	49612	66	52918	31	54856
338	36327	147	44972	98	49710	65	52983	28	54884
329	36656	147	45119	97	49807	64	53047	25	54909
314	36970	146	45265	96	49904	64	53110	21	54931
314	37283	146	45411	96	50000	64	53174	21	54951
310	37593	142	45553	96	50095	62	53236	20	54972
310	37903	140	45693	96	50190	60	53296	19	54991
301	38203	137	45829	93	50284	60	53356	19	55010
284	38755	137	45966	92	50376	58	53414	15	55025
268	38755	135	46101	92	50468	57	53471	13	55038
267	39022	131	46232	92	50559	57	53539	11	55049
265	39287	128	46360	91	50650	56	53585	11	55060
251	39538	127	46487	90	50740	56	53641	8	55068
249	39787	126	46613	88	50828	56	53697	6	55074

Tableau: 1 - Dataset pour analyse de Pareto

où les 200 valeurs n_i (nombre de bons de commande en provenance d'une ville i) ont été classées par valeurs décroissantes et cumulées dans une colonne N_i.
La première ville se caractérise par 8'965 bons de commande (ce qui correspond à 16.28% du total des bons), la seconde par 4'556, ce qui fait que les deux premières villes ont passé 13'520 bons de commande (ce qui correspond à 24.55% des bons), les trois premières villes, ont passé 16'589 bons de commande (ce qui correspond à 30.12%), etc. Une autre façon de décrire ce phénomène consiste à dire : 0.5% des villes (classées par valeur décroissant du critère) ont passé 16.28% des bons, 1% des villes ont passé 24.55% des bons, etc.
Ces calculs, sont partiellement présentés dans le tableau ci-dessous :

i%	N_i%	i%	N_i%	i%	N_i%	i%	N_i%	i%	N_i%
0.5	16.28	20.5	72.68	40.5	84.86	60.6	92.45	80.5	97.6
1	24.55	21	73.11	41	85.09	61	92.61	81	97.7
1.5	30.12	21.5	73.51	41.5	85.32	61.5	92.77	81.5	97.8
2	34.36	22	73.92	42	85.54	62	92.92	82	97.89
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
19	71.33	39	84.18	59	91.97	79	97.3	99	99.7
19.5	71.79	39.5	84.41	59.5	92.13	79.5	97.4	99.5	99. 99
20	72.24	40	84.64	60	92.29	80	97.5	100	100

Tableau: 2 - Données cumulées et normalisées pour analyse de Pareto

traduits graphiquement (selon les traditions d'usage) ci-dessous sous la forme d'un diagramme de Pareto:

(4)

ou de manière plus pertinente sous la forme d'un diagramme de Lorenz (l'abscisse des numéros des villes est remplacé par le %cumulé de villes comme dans le tableau de données ci-dessus):

(5)

Cette analyse met en évidence qu'un nombre faible d'éléments est l'origine de la majeure partie du phénomène étudié (par exemple, ici 31% des villes génèrent 80% des bons de commande). Ceci explique qu'elle soit l'une des grandes techniques utilisées dans le domaine de la "gestion de la qualité totale" (Total Quality Management) ETdans l'analyse de l'importance des causes d'un problème de qualité. Elle est également utilisée par les gestionnaires pour structurer l'organisation, en particulier pour différencier les processus en fonction de caractéristique de la demande (suivi différencié de la clientèle selon son importance, par exemple) et lorsqu'elle est utilisée pour définir 3 classes, cette technique prend souvent le nom de "Méthode ABC" (cf. chapitre de Génie Industriel).
La ligne en pointillés de ce graphique correspond elle à ce que nous aurions observé en cas d'équi-répartition du phénomène étudié, c'est-à-dire si chaque ville s'était caractérisée par le même nombre de bons de commande.
De façon générale, plus une courbe de Pareto (ou de Lorenz) se rapproche de la droite d'égalité parfaite et plus la répartition de la masse considérée au sein de la population est égalitaire. En effet, dans ce cas, la masse (des salaires, de la richesse, du revenu, etc.) est peu concentrée sur quelques uns.

Remarque: La présentation de cette analyse a été faite en classant les observations par valeurs décroissantes mais nous aurions pu tout aussi bien partir d'un classement par valeurs croissantes et, dans ce dernier cas, la courbe obtenue aurait été symétrique, le centre de symétrie étant le point de coordonnées (0.5,0.5).

Dans un environnement industriel, les points d'amélioration potentiels sont quasi innombrables. On pourrait même améliorer indéfiniment, tout et n'importe quoi. Il ne faut cependant pas perdre de vue que l'amélioration coûte aussi et qu'en contrepartie elle devrait apporter de la valeur ajoutée, ou au moins supprimer des pertes.

INDICE DE GINI

Le phénomène étudié est d'autant moins équitablement réparti que la courbe s'éloigne de la droite d'équi-répartition. Les économistes, gestionnaires ou responsables de départements d'entreprise utilisent parfois (pour leur tableau de bord de performance) un indicateur synthétique pour mesurer ce phénomène et son évolution, "l'indice de Gini" (appelé aussi "coefficient de Gini").
Ce coefficient est défini par le rapport:

(6)

où les surfaces A et B se rapportent à la figure ci-après.

(7)

Le coefficient de Gini est donc un nombre réel compris entre zéro et 1. En cas d'égalité parfaite, il est égal à zéro (car A=0). En cas d'inégalité totale il est égal à 1, car B=0. Par conséquent, à mesure que G augmente de 0 à 1, l'inégalité de la répartition augmente.
Sachant que la courbe de Lorenz est

on voit que la surface A+B est égale à la moitié de cette surface. Nous avons donc :

(8)

Nous pouvons de ce fait écrire:

(9)

De plus comme:

(10)

Finalement, nous pouvons écrire que :

(11)

En utilisant la méthode de calcul d'intégrale des trapèzes (cf. chapitre de Méthodes Numériques) nous avons l'aire B qui est donnée par:

(12)

où pour rappel h est la longueur des intervalles supposés tous égaux (ce qui est toujours le cas dans le contexte des analyses de Lorenz) et si la configuration du tableau de données est tel que nous ayons le graphique suivant (ce qui est plutôt rare...):

(13)

Traditionnellement nous trouvons cette dernière relation sous la forme:

(14)

où n représente le nombre d'unités statistiques (la population). Dans le cas qui nous sert d'exemple depuis le début cela donne:

(15)

Dans la situation où le graphique est sous la forme (cas qui est nettement le plus fréquent en entreprise!!):

(16)

La méthode des trapèzes nous amène alors à écrire:

(17)

Traditionnellement nous trouvons cette dernière relation sous la forme:

(18)

Dans le cas qui nous sert d'exemple depuis le début cela donne:

(19)

PERT PROBABILISTE

En restant toujours dans le cadre des statistiques et probabilités relativement aux techniques mathématiques de gestion, il existe une loi empirique en gestion de projet (domaine que nous supposerons connu par la lecteur car trivial) très utilisée dans le cadre des "PERT probabilistes" (Program Evaluation and Review Technic) et incluse dans nombres de logiciels spécialisés afin de faire des prédictions de coûts et de temps (cf. chapitre de Théorie Des Graphes).
Cette loi, appelée "loi bêta" ou encore "loi de Pert" est souvent présentée sous la forme suivante dans les ouvrages et sans démonstration (...) :

(20)

et donne la durée probable (espérée)

d'une tâche élémentaire (non décomposable en sous-tâches) où nous avons

qui sont respectivement les durées optimiste, vraisemblable et pessimiste de la tâche

. Nous allons démontrer plus bas la provenance de cette relation!

Remarque: Cette approche classique date de 1962 et est due à C.E. Clark.

Ses principes sont les suivants :
La durée de chaque tâche du projet est considérée comme aléatoire et la distribution Bêta est systématiquement utilisée; les paramètres de cette loi que nous allons démontrer sont déterminés moyennant une hypothèse de calcul assez forte, à partir des valeurs extrêmes a et b que la durée d'exécution peut prendre, et du mode

.
Il suffit donc de poser les trois questions suivantes :
1. Quelle est la durée minimale ?
2. Quelle est la durée maximale ?
3. Quelle est la durée espérée ?
pour obtenir respectivement les paramètres

, qui permettent ensuite de calculer la moyenne (espérance) et la variance de cette durée aléatoire.

Ensuite, nous déterminons le chemin critique du projet (par la méthode des potentiels métra supposée connue par le lecteur), en se plaçant en univers certain et en utilisant les durées moyennes (espérées) obtenues avec la loi Bêta, ce qui permet de trouver le(s) chemin(s) critique(s).
Ensuite, nous nous plaçons en univers aléatoire et la durée du projet est considérée comme la somme des durées des tâches du chemin critique précédemment identifié. Nous utilisons alors le théorème de la limite centrale vu dans le chapitre de Statistiques (rappelons que ce théorème établit, sous des conditions généralement respectées, que la variable aléatoire constituée par une somme de n variables aléatoires indépendantes suit approximativement une loi Normale, quelles que soient les lois d'origine, dès que n est assez grand) pour approximer la loi de distribution de probabilités de la durée d'exécution du projet.
L'espérance mathématique (ainsi que la variance) de cette loi Normale se calcule comme la somme des espérances mathématiques (ou des variances) de chaque durée des tâches du chemin critique (cf. chapitre de Statistiques) tel que :

(21)

et dans le cas particulier où les variables sont linéairement indépendantes, la covariance étant nulle (cf. chapitre de Statistiques) nous avons aussi :

(22)

Rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Statistiques et Calcul Différentiel Et Intégral que :

. (23)

En gestion nous remarquons que souvent, les durées des tâches suivent une loi que nous appelons "loi bêta de première espèce" (cf. chapitre de Statistiques) donnée par:

(24)

Pour un intervalle [a,b] quelconque dans lequel x est compris nous obtenons la forme plus générale:

(25)

Vérifions que nous ayons bien :

(26)

Par le changement de variable :

(27)

nous obtenons :

(28)

Déterminons maintenant l'espérance :

(29)

Toujours avec le même changement de variable nous obtenons :

(30)

Or :

(31)

Donc :

(32)

Calculons maintenant la variance en utilisant la formule d'Huyghens démontrée dans le chapitre de Statistiques:

(33)

Calculons d'abord

(34)

Toujours par le même changement de variable nous obtenons,

(35)

Or :

(36)

Donc :

(37)

Pour finir :

(38)

Calculons maintenant pour le "module"

de cette loi de distribution.

est par définition le maximum global de la fonction :

(39)

Il suffit pour le calculer de résoudre l'équation :

(40)

Après dérivation nous obtenons :

(41)

en divisant par

nous avons :

(42)

c'est-à-dire :

(43)

Maintenant, le lecteur aura remarqué que la valeur a est la valeur la plus petite et la b la plus grande. Entre deux il y a donc le mode

.
En gestion de projets, cela correspond respectivement aux durées optimiste

, pessimiste

d'une tâche.
Ensuite, nous imposons une hypothèse assez forte :

(44)

Ce qui implique que nous ayons :

(45)

ainsi que :

(46)

Et finalement :

(47)

Ce qui nous donnes sous forme synthétique:

(48)

Remarque: Les deux dernières expressions de la variance et de l'espérance sont celles que vous pouvez trouver dans n'importe quel livre de gestion de projets (sans démonstration bien sûr...) comme par exemple le fameux PMBOK. Malheureusement il y a une erreur dans cet ouvrage de référence de gestion de projets à ma connaissance. Effectivement la valeur modale y est imposée par le chef de projet alors qu'en toute rigueur elle doit être calculée avec la première des trois relations ci-dessus à partir de la durée pessimiste et de la durée optimiste de la tâche!!!

Indiquons que exactement les mêmes développements effectués jusqu'ici peuvent sont valables avec la formulation suivante de la loi bêta:

(49)

cette dernière formulation étant celle disponible dans les logiciels ou tableurs comme MS Excel par exemple en utilisant la fonction LOI.BETA( ) et pour sa réciproque par LOI.BETA.INVERSE( ).
Nous obtenons alors pour l'espérance: